Opini – Persembahan dari Budi Rianto Mahasiswa Pascasarjana Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia berjudul “Pentingnya Skeptis Dan Rasionalitas Dalam Matematika“.
Tahukah dengan bilangan prima Mersenne yang dirumuskan Mn = 2n – 1 dengan n ≥ 1? Dalam kata pengantar Cogitata Physica-Mathematica (1644), Mersenne menyatakan bahwa Mp adalah prima untuk p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 dan komposit untuk semua bilangan prima lainnya p < 257. Jelas bagi matematikawan lain bahwa Mersenne tidak mungkin menguji primalitas semua angka yang telah dia umumkan. Euler memverifikasi (1772) bahwa M31 adalah prima tetapi M67, M127, dan M257 berada di luar tekniknya.
Baru pada tahun 1947, setelah kerja keras yang luar biasa karena kalkulator yang tidak dapat diandalkan, pemeriksaan bilangan prima dari Mp untuk 55 bilangan prima dalam kisaran p < 257 selesai. Diketahui bahwa Mersenne membuat lima kesalahan. Dia keliru menyimpulkan bahwa M67 dan M257 adalah prima dan pengecualian M61, M89, dan M107 dari daftar bilangan prima yang diprediksinya. Agak mengherankan bahwa lebih dari 300 tahun diperlukan untuk meluruskan pernyataan Mersenne tersebut, meskipun dalam kasus-kasus tertentu rumusan itu berguna.
Berdasarkan kasus Mersenne diatas, kita sadar bahwa skeptis dalam setiap pengetahuan khususnya matematika adalah penting. Andaikan matematikawan lainnya tidak mempunyai rasa skeptis maka bisa jadi sampai saat ini kita masih dalam pemahaman yang salah terkait bilangan prima Mersenne.
Sikap skeptis mendorong seseorang untuk berpikir (rasional) dengan demikian memungkinkan adanya temuan-temuan baru. Dalam sejarahnya, matematika selalu berkembang, sebagai contoh di Tiongkok pada Tahun 300 Sebelum Masehi (SM), di India pada tahun 100 Masehi, dan di Arab pada tahun 800 Masehi, hingga ketika temuan baru matematika berhubungan dengan penemuan ilmiah baru yang mengarah pada peningkatan di dalam laju penemuan matematika. Berlanjut hingga kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat yang urgen di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran atau medis, ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplindisiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti teori permainan dan statistika.
Kembali terkait bilangan prima yang mengalami perkembangan baik temuan bilangannya maupun aplikasinya. Sebagai contoh temuan bilangan prima terbesar yang ditemukan terdiri atas 23.249.425 digit oleh Jonathan Pace (Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS)), di mana diyakini bahwa bilangan prima banyaknya tak berhingga. Adapun dalam aplikasi contohnya adalah Aplikasi Fermat’s Little Theorem pada RSA (Rivest – Shamir – Adleman), algoritma RSA dijabarkan oleh tiga orang yang berasal dari MIT (Massachusetts Institute of Technology), yaitu Ron Rivest, Adi Shamir, dan Len Adleman Tahun 1977. RSA mendasarkan proses enkripsi & deksripsi pada bilangan prima dan aritmetika modulo. Kunci ekripsi dan kunci dekripsi keduanya merupakan bilangan bulat. Kunci ekripsi tidak dirahasiakan atau diketahui oleh umum (kunci publik), namun kunci untuk dekripsi bersifat tidak umum atau rahasia. Kunci dekripsi dibangkitkan dari beberapa bilangan prima bersama-sama dengan kunci enkripsi. Algoritma ini dipatenkan oleh MIT pada Tahun 1983 di Amerika Serikat sebagai U.S. Patent 4405829. Paten ini berlaku hingga 21 September 2000.
Adapun masalah-masalah yang melibatkan bilangan prima yang belum terpecahkan, diantaranya konjektur Goldbach, yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat lebih besar dari 2 dapat dibentuk sebagai jumlah dua bilangan prima, dan konjektur bilangan prima kembar, menyatakan bahwa ada tak berhingga banyaknya pasangan bilangan prima yang memiliki sebuah bilangan genap di antaranya. Masalah-masalah tersebut mendorong berbagai cabang muncul dalam teori bilangan, yaitu yang fokus pada aspek bilangan analitik ataupun bilangan aljabar.
Dengan demikian, terbuka luas bagi para akademisi untuk melakukan penelitian, salah satunya terkait apa yang telah disampaiakan di atas yaitu sebagai buah dari skeptis (yang positif) dan rasionalitas dalam matematik.
*) Mahasiswa Pascasarjana Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia.
Referensi:
Buku : “What is This Thing Called Knowledge?”, Duncan Pritchard “Elementary Number Theory”, David M. Burton
Makalah : “Fermat’s Little Theorem dan Aplikasinya pada Algoritma RSA”, Akbar Gumbira
Website : wikipedia
